Mathematicians' Mathematics, or Mathematics Without Mathematicians?

第一部分　一个星期

一、三天的纪录

Julia Stadlmann 是伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校的博士后。她在牛津读的博士，导师是 James Maynard——2022 年菲尔兹奖得主，得奖理由之一正是孪生素数问题相关的工作。

孪生素数的问题是这样的：相邻两个素数之间可以隔多远？Alphonse de Polignac提出猜想说，相差 2 的素数对有无穷多；这个猜想到今天没有证明。2013 年，当时默默无闻的张益唐证明了一个弱版本：存在某个小于 7000 万的间隙，会有无穷多对素数以这个间隙出现。7000 万这个数很快被一群数学家轮流往下压。Maynard 用新的筛法压到 600；陶哲轩组织的网上协作项目 Polymath8b 压到 246。那是 2014 年。此后十二年，246 没有动过。

Stadlmann 博士毕业后花了大约两年时间啃这个数。她的思路是把张益唐早期的技术和后来发展出的等分布估计更好地拼在一起：在高维空间里找出不同方法各自占优的区域，再算这些区域的体积——而她对这些区域长什么样只有粗略的概念。蒙特利尔大学的数论学家 Andrew Granville 说，这比大海捞针还难。到今年初夏，她把 246 压到了 240。数论学家们的共识是，给她时间，这个方法还能往下走。

她没有时间。

8 月中旬，她听到传闻：OpenAI 打算宣布一个关于素数间隙的大结果。她的博士后导师、伊利诺伊的 Kevin Ford 对她说：放下手头一切，把结果发到 arXiv 上，哪怕第二天就被人超过，你也保住了一天的纪录。

8 月 31 日，论文上线。摘要只有两句话：Polymath8b 证明了 H₁ ≤ 246，本文说明如何把 Bombieri–Vinogradov 定理与新的光滑模等分布估计结合起来，得到 H₁ ≤ 240。

纪录保持了三天。

一家叫 Axiom Math 的 AI 公司，此前一直在做 2013、2014 年那批证明的 Lean 形式化，8 月 17 日刚把 246 的证明整个机器验证了一遍。看到她的论文后，他们把她的新想法喂进自己的定理证明系统，连熬三个通宵，9 月 3 日把纪录压到 212。Science News 的记者说，这大致是 Stadlmann 如果有更多时间和算力能达到的水平。

两小时后，OpenAI 发布 GPT-6 Astra，随附的一篇论文把纪录压到 186。按 OpenAI 的 Sébastien Bubeck 的说法，他们本来是用一个相关问题——最大间隙，而不是最小间隙——来展示新模型，小间隙是"顺便"做的，因为公司里的数学家对它感兴趣。

Kevin Ford 说，这是一个大卫对歌利亚的故事，人类拿了金牌——保持了三天。他还说，这可能是人类最后一次保持这项纪录。

Stadlmann 说她不觉得受到了不公对待。她说：我对具体的数字没那么感兴趣，我非常感兴趣的是数学想法。OpenAI 说他们联系过 她的导师 James Maynard，但没有直接联系过她。Andrew Granville 说：我看不出 OpenAI 认真考虑过怎么对待她。

这些细节参见 Science News 的报道《一个人类创下数学新纪录，然后 AI 来了》。

二、一个星期天的两通电话

第二个故事的主角是 Tristan Buckmaster，我女儿的学校纽约大学柯朗研究所的数学家，偏微分方程专家，以 Navier–Stokes 方程弱解方面的工作知名。他的合作者 Levent Alpöge 是数论学家，现在在 Anthropic 工作。两人的合作是纯私人的，没有任何机构协议。Buckmaster 用自己的科研经费给两家公司付模型账单，付给 OpenAI 的是一大笔。他们用过 Anthropic 的 Claude 和 OpenAI 的 Codex，后期用 GPT-6 Astra 做写作和审核。

他们做的是 Navier–Stokes 方程的有限时间爆破。Navier–Stokes 方程用牛顿第二定律描述流体运动，1934 年 Leray 证明了广义解存在，但解是否始终光滑一直是悬案。2000 年克雷数学研究所把它列为七个千禧年问题之一，悬赏一百万美元。"爆破"的意思是：从光滑的初始状态出发，流体速度在有限时间内趋于无穷。

Buckmaster 特别强调，这条路不是他们开的，更不是 LLM 提出的。基本思路来自两位西班牙数学家 Diego Córdoba 和 Luis Martínez-Zoroa，他们几年来一直在研究"带外力的爆破"。Buckmaster 和 Alpöge 做的，是用 LLM 把这个纲领从粗糙外力推到光滑外力、推到 Euler 方程——Euler 方程是去掉粘性项的 Navier–Stokes，通常被看作通往后者的台阶。他在公开信里说了一句他私下对同事说过的话：他认为 Martínez-Zoroa 应该得菲尔兹奖。

过去一年大部分时间进展缓慢。8 月 15 日，事情突然通了：他们得到了 Boussinesq 方程和 Euler 方程带光滑外力的爆破。Alpöge 发给他的第一版 LLM 证明，他形容为自己读过的最可怕的证明——大概是因为那不是人的写法：没有思路，只有一步接一步的推导，篇幅巨大，人核不动。

人核不动，就交给机器核。Lean 是一个证明助手：把定理和证明写成形式化语言，它逐步检查每一步推理能不能追溯到公理和已验证的引理，任何跳跃和含糊都会被拒绝。8 月 22 日，Lean 验证通过——证明是对的，不需要任何人的信任。此后两人连轴转，把这个证明改写成人能读的东西。

然后传闻来了。9 月 3 日星期四，圈子里流传"Anthropic 解决了一个重大开放问题"，同时 Alpöge 得到消息，他们的进展已经传到了 OpenAI。Buckmaster 给 OpenAI 的一位知名数学家写了封邮件——他在公开信里全文引用了这封信，因为他宁愿别人读全文而不是他的转述。信的大意是：我们有把握的工作很快会发布，论文和形式化一起；我们有意不抢先发一份 Lean 证书配一份没打磨的预印本，因为我强烈认为，任何人先读到的应该是用常规方式呈现的数学论证，而不只是一份形式证书。

对方当天回信，说愿意避免竞争，并且愿意提供算力。Buckmaster 说下周再谈。星期五对方问能不能当天谈，他说下周。星期天中午 12 点 45 分，对方问"今天任何时候"能不能谈。Bubeck 加入了。那个下午他们通了两次电话，Alpöge 不在线上。

他被告知：OpenAI 的一个内部模型已经证明了带外力的 Navier–Stokes 有限时间爆破，证明约 100 页。他没有看到证明。

他解释了为什么一听到"带外力"就亮起红灯：通过光滑外力（克雷问题陈述里的选项 C 和 D）走向千禧年问题，是 Córdoba 和 Martínez-Zoroa 打开、而他们两人悄悄选择的路线，据他所知几乎没有别人在做。这不是把问题陈述扔给模型几天就能走到的方向。

通话中他被给看了一条提示词，被告知模型只是拿到了问题陈述；Alpöge 此前也被告知"人工输入非常少"。他说这后来被证明不实。随着对方团队成员在内部聊天里不断给 Bubeck 发来更正和细节，逐渐浮现的是：整个团队都在做这个问题；这只是他们尝试的多件事之一；工作是从无外力版本开始的；团队先让模型做了更容易的问题，包括 Euler；连给他看的那条提示词也是用 Codex 生成的；用了极其巨大的算力。

他问第一条提示词是什么时候发的。这个问题过了很久才得到回答：最近几天，在他们的工作消息传到 OpenAI 之后。

他问模型是否训练过、或者能访问他们在 Codex 里的会话——整个项目的所有草稿都放在那里。回答是模型不查用户数据。他又问训练的事，没有得到回答。

对方提出两个方案。一，他们发 Euler，OpenAI 第二天发 Navier–Stokes。二，发完 Euler 之后，由 Buckmaster 一个人写一篇论文呈现 Navier–Stokes 的结果，注明是 OpenAI 内部模型解决的。Bubeck 两次表示希望把 Alpöge 从作者名单里去掉，并说如果不是 Alpöge 在 Anthropic 工作，一切会简单得多，这太烦人了。对方还说，如果 OpenAI 在他们之后发布，会说他们应得克雷奖，是"离问题最近的人类"。他拒绝了两个方案。

他说，如果 OpenAI 按提议的方式发布，他会公开这一切。对方回答："Why would you ruin your career?" 他说我是个学者，为什么你觉得公开会毁掉我的职业生涯。对方说，如果你不想让我客气，我可以不客气。

之后 Alpöge 收到短信，提议和 Bubeck 一对一谈，短信里说不确定 Tristan 现在是否完全理性。Alpöge 拒绝了，说谈话应该和 Buckmaster 进行。

Buckmaster 在信末写得很克制：我没有看过 OpenAI 的证明。我不知道他们的模型做了什么、怎么做的。我不知道我们的数据是否被用。我不指控任何人任何事。我陈述的是我被告知了什么、什么时候、对方向我提了什么——因为另一种选择，是任由一连串公告说出我知道为假的东西。

他本来打算在发布时说：结果不是重点。重点是一个数学家和一个 LLM 现在一个月就能做完这一切。这对我们怎么培养学生、怎么分配署名、怎么审稿、怎么决定什么值得一个人用一生去关注，冲击怎么强调都不为过。这是一个 Deep Blue 对 Kasparov 的时刻，社区需要认真、不慌不忙地讨论接下来往哪走。而他发现自己不得不写的，是另一件事。

他还为论文的写作质量道歉。Boussinesq 和 Euler 那几篇，他说更接近模型在人的指挥下产出的东西，而不是人写的论文；Euler 那篇只能称为 AI slop。他说这些问题、这个社区，配得上更仔细的写作，但他们被外部因素推着走。这不是借口，是解释。

9 月 7 日，他把公开信和 Euler 论文一起挂到了主页上。信的最后一句是感谢过去 24 小时里支持他的整个数学界。

9 月 8 日，OpenAI 发布 Navier–Stokes 的结果，论文 166 页，附 Lean 形式化。OpenAI 的叙述是：从 8 月 28 日起他们在训练一个比 GPT-6 Astra 强得多的内部模型；9 月 1 日听到"两个千禧年问题被解决"的传闻，于是启动了一个用该模型评估全部千禧年问题的计划。他们用一个多智能体系统，一组组智能体拿到问题的不同变体，解决 Navier–Stokes 的那一组有大约一万个并发智能体。作为"热身"，他们也让系统做了无外力的 Euler 方程，大约 100 个智能体干了 50 小时就解决了，这让他们自己也意外，于是把资源集中到 Navier–Stokes 上。9 月 5 日，首批智能体启动后约 88 小时，结果出来了；Lean 形式化又用了 17 小时。整个过程中，智能体发了 490 万条消息，用了约 3000 亿输出 token；Navier–Stokes 这一个问题用了 270 万条消息和约 1300 亿 token。OpenAI 说不申领克雷奖金，并说这不是终点，只是 AI 进展的一个快照。

关于 Buckmaster 的质疑，OpenAI 的说法是：研究者和智能体在他们公开发布前没有通过任何途径看到他们的工作；9 月 10 日又补充，经调查确认 Buckmaster 此前两个月的 Codex 提示词不可能以任何方式影响该系统，包括训练；两个证明差异显著——在 Euler 的情形，Alpöge 和 Buckmaster 证的是带外力的结果，OpenAI 证的是无外力的。对媒体，OpenAI 的措辞谨慎一些：虽然不太可能，但不能排除从他们使用产品中派生的去标识数据帮助改进了模型。

Science News 的报道里有两个小细节。威斯康星大学的 Dallas Albritton 凌晨一点看到 Buckmaster 和 Alpöge 的结果，那时他正抱着刚出生的孩子醒着。他和同事一直讨论到早上六点。他说，知道答案是一件大事，这是这个领域的指路问题之一。约翰·霍普金斯的数学物理学家 Gregory Eyink 则说，这个结果没什么实际意义——Navier–Stokes 把流体当连续介质，真实流体是分子，方程在某个尺度以下本来就不适用；这更多是关于声望，这些方程有巨大的"数学名人效应"。他认为真正严重、需要解决的，是有 AI 参与时怎么分功劳的问题。

三、温布尔登与美网

Steven Strogatz，67 岁，康奈尔大学应用数学家，小世界网络模型的作者之一，写过《x 的奇幻之旅》和《微积分的力量》，大概是当今最会向公众讲数学的人之一。9 月 12 日，Wired 发表了对他的采访，标题是《我真的很害怕》。文章开头说，他谈起过去一周 AI 驱动的突破时哭了。

他对记者说：科学是激动人心的，但伴随着很多人的不愉快。他预言 2026 年会被记住，要么是数学的奇迹之年，要么是灾难之年（annus mirabilis or annus horribilis），因为发生了太多事。他说，将来想做突破性的数学，不用 AI 就没法竞争。他把此刻比作一部恐怖片，由人们并不理解的系统驱动的 AI 一步步逼近——但我们还没到电影的结尾。他说：本能地，我真的很害怕。

他对 Navier–Stokes 本身的评价很不客气：这是一个极其理论化的问题，对土木或航空工程师基本没有意义，是公司用来证明机器有多强的营销手段；除了一小撮纯数学家没人在乎——但对 OpenAI 来说，证明自己比 Anthropic 强，也许值一万亿美元。

采访快结束时，他的合作者 Alex Townsend 走进了他的阁楼。Townsend 是康奈尔的数值分析学家，两人正在合写一本书叫 Big Math，讲数学如何正在滑出人类理解的范围，11 月出版。Townsend 最近用 ChatGPT 帮忙解决了数值线性代数里一个几十年的老问题。他和合作者说，没有这项技术，工作量和投入产出比都高得不可行。但他接下来的话，比这篇文章里任何论证都更能说明问题。他说他有点难过：把 15 年的生命献给了数学研究，在职业生涯最高产、作为数学家最强的时候，那个巅峰技能不在了，有东西能超过他。以前那么让人兴奋，因为你是世界级的，在推动知识的前沿。然后是这句：现在我不觉得自己是站在知识前沿的那个人，我是那个带着一个 AI agent 的人。感觉真的很不一样。我感到彻底被威胁。

Wired 报道了 Strogatz 的眼泪，但没解释他为什么哭。当天晚上，他在陶哲轩的博客上发了一篇客座文章：《温布尔登、美网与数学的未来》。开头先坦白：ChatGPT 帮他写了这篇文章，他改了改让它更像自己。（评论区第一条留言说：完全没闻到 LLM 味，用检测工具跑了一下，100% 人类。）

他说，不是因为怕 AI 抢他的工作，他 67 岁，快退休了；他也喜欢玩 AI，用它做研究、头脑风暴、学习，觉得很过瘾。那让他落泪的是什么？他说，他自己也不完全确定。他猜是这样：当他试图向记者讲述这门学科四千年的壮丽故事时——数学不只是它的结果。它是人类的一种看待和理解世界的方式，是一场对话，一代人向下一代解释的不仅是什么是真的，还有为什么。理解的愉悦，以及这种理解使之可能的新发现，是数学存在的一部分理由。成为这场漫长对话的一部分，是一种荣誉。然后，2026 年，AI 的海啸突然打到了数学上。传统的宏伟和变化的突然，也许合谋把他弄得情绪失控了。

但他又说，也可能是在谈到 Buckmaster 的时候。他不认识 Buckmaster，但从这个不安的一周里读到的东西看，此人让他想起自己认识的许多数学家：纯粹、清晰、一丝不苟，忠于真理，也许还没准备好和大公司打交道。

采访里他提了四次温布尔登。对他来说，Buckmaster 代表数学的温布尔登：白衣，传统，礼仪，做一个温和的人的理想。怎么打这场比赛是有讲究的。美网不一样：更吵、更粗、更张扬，充满个人风格、粗俗和能量，面向未来。它也比温布尔登更开放、更民主。他说他理解那种吸引力。

男单决赛就在第二天（冠军是4岁时被诊断出患有1型糖尿病的Alexander Zverev）。他问自己：AI 会不会让前沿数学变得更像美网而不是温布尔登？它可能打开大门，让数百万没有多年专业训练的人涌进来做发现。这令人激动，他不想当守旧的老家伙。所以，是的，他爱美网……也爱温布尔登。（他几年前第一次去温布尔登，也哭了。）

他的结论：让他失控的，也许是一个四千年人类传统的宏伟，是前方不可想象的东西，以及某种珍贵之物可能在路上消失的可能性。

四、二十五个菲尔兹奖

9 月 11 日，一份题为《AI 在数学中的严重错位》的声明公布，联署人是 25 位菲尔兹奖得主：从 1978 年的 Deligne、1986 年的 Donaldson，到 2022 年的 Maynard、许埈珥、Viazovska，再到 2026 年刚得奖的邓煜。陶哲轩、Scholze、Kontsevich、Villani、Bhargava 都在其中。声明同时发在陶哲轩的博客上，开放给任何学者签名。

声明不长，写得平实。开头承认：过去几个月 LLM 的数学能力大幅提升，已经能解决许多领域的重大悬而未决问题。然后说：AI 公司把解决数学问题当作基准（benchmark）来推，对数学这门科学和数学共同体是有害的。AI 公司的目标与数学共同体的目标严重错位。他们把这看作更广泛的对齐问题的一部分，影响其他科学和创造性职业，乃至整个社会。

声明用不小的篇幅解释数学是怎么运转的：著名问题充当地标和灯塔，用来衡量对数学景观的理解有没有加深；解决其中一个，一直是新洞见和有趣方法的可靠标志。随后会有一个漫长的过程——讲座、讨论、简化——理想的终点是一份教科书式的呈现，任何研究生甚至本科生都能学。有些想法走得更远，几十年、几百年后成为全体人类理解和使用的工具。这个共同体最珍贵的资源是学生和想法，两者都需要时间，都建立在人与人的互动上。

核心是这一段：解决问题只是达成首要目标——概念理解和洞见——的工具和代理。在 AI 的世界里忘掉这一点，可能让工具反过来对抗首要目标。越来越快地批量生产"真/假"陈述，可能毁掉肥沃的土壤，而不是给新想法注入生命。

然后是署名问题：这些解决常常匆忙宣布，没有时间做像样的写作、分离出新方法、引用他人的相关工作，和所有创造性职业一样带来严重的署名和剽窃问题。以及一句直指本文主题的话：没有愿意承担消化和整合工作、把它们纳入数学正典的数学家，AI 构想的想法永远不会真正活过来，数学家之间关键的人际传递链将会断掉。

声明最后说，AI 有增强和加速真正数学研究与理解的潜力，这个职业需要适应。但这些变化最终是有益还是破坏，很大程度上取决于掌控这项新技术的人的决定。

陶哲轩在 Mathstodon 上补了一段更直接的话，拿素数间隙做例子。和纯数学里大多数值得研究的问题一样，间隙的具体上界本身没什么内在重要性；把张益唐的 7000 万改进到 246、188 或者 6，本身对其他数学问题不会有显著影响，更别说现实应用。他说我们看到的，是一些非常刻意的选择的后果：放弃任何获得人类理解的假装，只为达成一个基准而使用 AI 工具。

第二部分　消化与灯塔

五、真理的四层

这些新闻里的争议大多是社会学的：署名、抢跑、公司动机、怎么对待年轻人。这些重要，但不是这里想讨论的问题。这里想讨论的，是标题里的那个。标题的一半，"数学家的数学"，是几千年来人做的那种数学。另一半，"数学的数学"，指的是一种新东西：AI 是数学的产物——线性代数、概率、优化，加上工程——它现在反过来做数学。它做出来的，还算不算数学家的数学？

上一篇《数学是什么？》的结尾，把"数学是客观的吗"拆成了四个层次的问题。

• 一个命题是否为真，是一个问题；
• 一个形式系统能不能证明它，是第二个问题；
• 一个物理观察者能不能找到那个证明，是第三个问题；
• 一个具体的人类能不能理解那个证明，是第四个问题。

真理与可达真理不是一回事。

2026 年 9 月发生的，是第三层的爆炸。一万个智能体，88 小时，1300 亿 token，一个 90 年的问题。找到证明的能力，一下子从"人类数学家几十年"变成了"机器几天"。

Lean 在哪一层？第二层。OpenAI 的证明经过了 Lean 验证，Buckmaster 的也经过了，这意味着它们是对的。但"对"回答的是第二个问题。Buckmaster 在信里坚持先发论文再发证书，说的正是这个：一份形式证书不是一个数学论证。Lean 是通往"可证"的桥，不是通往"可理解"的桥。

第四层没有跟上节奏。Buckmaster 读第一版证明的感受是"我读过的最可怕的证明"；OpenAI 的 166 页，到写这篇文章时，人类这边还没有人说自己完整读懂了。人的大脑没有变大。

第三层炸开了，第四层基本没动，两层之间就拉开了一道口子。这道口子本来靠什么合上？靠一个慢工：讲座、讨论、简化，把找到的证明变成人能懂的东西。菲尔兹奖得主们在《声明》给它起了个名字：消化。

六、消化

有限单群分类定理Enormous theorem是数学史上最大的一个证明：一百来位作者，五百多篇论文，一万多页，1983 年宣布完成。后来发现有个漏洞，Aschbacher 和 Smith 又用了 1200 页才在 2004 年补上。Gorenstein、Lyons 和 Solomon 从 1994 年起做一件事：把这一万多页重写成一套五千页上下的"第二代证明"，让下一代人有可能读完。这个项目做了三十年，到今天还没完。群论学家自己也承认，大概从来没有一个人从头到尾读过整个证明。Wiles 的费马大定理证明一百三十页，从 1995 年发表到变成研究生能学的东西，用了二十年上下。Grothendieck 的 EGA、SGA 加起来几千页，今天研究生学的"概形"，是被几代人压缩过的版本。

数学就是这样往前走的。一个证明出来，接着是讲座、讨论、简化、找反例、换记号，最后变成教科书里的几页、一个概念、一个名字。研究生继承的不是 Grothendieck 的一生，是"概形"这两个字，加上几条性质。他把这两个字装进脑子，然后往上盖。

这一步为什么不能省？因为脑子是有限的。一个数学家一辈子能真正消化的页数有上限，数学的总量没有。数学不断膨胀，人不变，唯一的办法是压缩：把一万页压成一个概念，把一个概念压成一个名字。做计算机的人会觉得这很熟悉：人脑是一台上下文窗口很小的机器，几千年的知识不可能全塞进去。教科书和概念就是人类文明发明的压缩格式——留下结论和"为什么"，扔掉当年找到它的曲折——好让每一代人能把前人的全部成果当作几个 token 装进有限的脑子，在上面引用、组合、往上盖。牛顿是用几何做出微积分的，教科书里的微积分用的是莱布尼茨的记号。压缩是有损的，但损掉的正是不必再背的东西。

这个过程比你想象的更重要。David Deutsch 在《无穷的开始》里说，生物的适应性就是知识：基因里装着关于"怎么在这个环境里活下去"的知识，是进化通过变异和选择造出来的，只不过是没有解释的知识。可以顺着他往下说一步：进化之所以能积累，是因为它把这些知识压缩进了基因。一条鱼不继承祖先的一生，只继承祖先一生被压缩后的结果，然后在这个结果上试新东西。如果每一代都得从头试，就谈不上积累，也谈不上进化。基因是进化的教科书，教科书是文明的基因。从基因到概念到教科书，从来是同一件事：把高一级的、更复杂的知识压成低一级能装载、能调用的形式，好让下一级往上盖。

回头看这一个星期，缺的就是这一步。

166 页的 Navier–Stokes 证明，Lean 说是对的，没有人消化过。Buckmaster 说他们那几篇论文"更接近模型在人的指挥下产出的东西"，Euler 那篇是 AI slop——他道歉的，其实就是没来得及消化。Stadlmann 的 240，数论学家们本来可以花几年弄懂她的拼接是怎么工作的，Ford 说她的方法还能往下走，从中会长出新东西。三天后它被 212 和 186 盖住了，而 186 的证明，OpenAI的Bubeck 自己说是"顺便"的。那些新东西还会长出来吗？

以前证明的生产速度和消化速度大致匹配，偶尔失衡，像有限单群分类，一次失衡就要三十年来收拾。现在生产速度翻了几个数量级，消化的速度还是人脑的速度。声明说批量生产真/假陈述"可能毁掉肥沃的土壤"，说的就是这个：土壤是消化出来的。堆在土壤上没消化的证明不是养分，是覆盖物。

消化，是不是可以看成前沿数学家们在新时代的主要任务？Stadlmann 说她感兴趣的是数学想法，不是数字；Buckmaster 从 8 月 22 日到 9 月 3 日做的事，就是把机器的证明改写成人能读的东西；Albritton 抱着孩子讨论到早上六点，讨论的不是结果对不对——Lean 已经说了——是"这意味着什么"。这些都是消化。

AI 能不能帮着消化？能，证据不少。Buckmaster 用 Astra 做写作和审核；Anthropic 说 Claude 在形式化费马大定理时证明了 29,500 个小引理，那是消化的反方向，把人的证明翻译给机器；Granville 说他两小时做完了以前要一个月的证明；Townsend 说没有 AI 他的问题根本不值得做。让一万个智能体去攻一座峰，和让一万个智能体把一份证明改写成研究生能读的讲义，技术上是同一种东西的两种用法。前者能上新闻，后者不能。准备上市的大公司，显然对前者更感兴趣。

但消化的终点只能是人。这不是技术问题，是定义问题。消化不是一种加工，是一种到达——到达一个人的脑子。压缩的标准是"能装进下一代"，而下一代是人。机器可以做百分之九十九的压缩，最后一步是有一个人说：我懂了，我能教别人了。声明说"没有愿意承担消化和整合工作的数学家，AI 构想的想法永远不会真正活过来"，这句话可以读得更硬一点：没被人消化的证明，在人类知识里不存在。它在 Lean 里存在，在 OpenAI 的服务器上存在，像一本没人能读的书那样存在。

七、深蓝、AlphaGo，与这一次

Bubeck 说这是深蓝对卡斯帕罗夫的时刻，Buckmaster 也这么说。这个比方值得认真对一对。

先说像的地方，有三处，都不太好看。

一是退守的动作一模一样。1997 年深蓝赢了卡斯帕罗夫，人们说国际象棋只是计算，不是智能。2016 年 AlphaGo 赢了李世石，说围棋只是模式识别。这次的《声明》说，解决问题只是达成理解的"工具和代理"。这句话没错，但得承认它在结构上和前两次是同一个动作：机器每拿走一块，人就把"真正重要的东西"往后挪一格。

二是被打败的人的反应。卡斯帕罗夫输了之后怀疑机器背后有人，要求 IBM 公开机器的日志；IBM 拒绝复赛，把深蓝拆了。Buckmaster 问模型有没有训练过他的会话，没得到回答。李世石 2019 年退役，理由是：就算我成为第一，也有一个无法战胜的存在。Strogatz 说：我真的很害怕。三次都是同一种情绪，不是输了的沮丧，是不知道自己输给了什么。

三是公司在场。深蓝之后 IBM 的股价涨了。这次 Strogatz 直说 Navier–Stokes 是营销，"也许值一万亿美元"。三次都是一家公司挑一个人类的标志物来打。

不像的地方更重要。

第一，怀疑的方向反了。1997 年的怀疑是"机器背后藏着人"，2026 年的怀疑是"机器踩着人的工作"。卡斯帕罗夫和深蓝隔着棋盘；Buckmaster 和模型在同一边，他自己就是用 LLM 做出突破的。这次的冲突不是人对机器，是"人加机器"对"公司的机器"，争的不是谁赢，是名字写谁的。这个结构以前没有过。

第二，没有人同意比赛。卡斯帕罗夫和李世石是签了合同坐到对面的。Stadlmann 是被排进一场她没有报名的比赛，OpenAI 连她本人都没联系。深蓝对的是巅峰的世界冠军，这次对的是一个博士后，还是"顺便"做的。1997 年的机器是为下棋造的，2026 年的数学是一个通用系统路过时掉下来的东西。

第三，也是最深的一处：棋是有限的，数学没有边。棋盘十九路，规则固定，胜负明确，人是唯一的标尺。标尺被超过以后，围棋这条线就到头了——不是技术走不动，是没有下一个目标，AlphaZero 之后就是机器自己和自己下。但人类围棋没有死。职业棋手用 AI 复盘，研究 AI 的定式，申真谞这一代的棋力被不少人认为是历史最强。围棋从"人类的最高智力游戏"变成"人在 AI 指导下继续玩的游戏"，这是一种活法，不算坏。棋能这样，是因为棋不承载任何东西，而且棋盘上的一手棋人看得见、学得会——AI 的每一手都被人消化了，这才有了申真谞。

数学不行。数学承载着物理和工程，是 Strogatz 说的四千年的接力。数学没有胜负，没有终点，"什么值得证"本身是价值判断。陶哲轩说间隙的具体数字不重要，重要的是挣扎中长出来的技巧和更深的理解；Buckmaster 说的"决定什么值得一个人用一生去关注"，也是这个意思。张益唐当年为什么盯着素数间隙？不是因为有人给他出了这道题。而在 OpenAI 这样的公司那里，"什么值得证"另有答案：能证明自家模型更强的，就值得证——Strogatz 说的"也许值一万亿美元"，指的就是这个标准。棋输了可以停，数学停不了：前沿没有边，永远需要有人站在那里。

压成一句话：前两次，机器在人定的游戏里赢了人；这一次也是，只是赢完以后多出一个问题——往后玩什么游戏，由谁来定。

八、灯塔

陶哲轩等数学家们在声明中把著名问题叫作"地标和灯塔"。OpenAI 这次的做法是把七个千禧年问题的所有变体分给不同的智能体组，看哪个先出结果。这是一种方向——地图上标着的最高峰。但那些峰是人标的。克雷研究所 2000 年选出七个问题，靠的是一整个世纪人类数学家的判断。这些灯塔一座座被点亮之后，下一批灯塔由谁来立？

有人会说，让 AI 自己立。可以认真设想一下这条路。

先说一个前提：人类之间已经发生过很多次"看不出这座灯塔为什么值得立"。1967 年 Langlands 给 Weil 写信，开头说如果你愿意就当纯粹的猜想读一读，否则请扔进废纸篓——Weil 让人把信打出来传阅，自己没往下走。Grothendieck 的纲领，当年多数同行看不出为什么要这么做。20岁就死于决斗的Galois 的手稿放了十几年没人理。这在人类之间靠几十年的时滞解决。AI 的情形不同之处只有一点：时滞可能变成永久。

顺着走下去，大概是这样几步。

第一步，灯塔由训练目标立，不是由品味立。第一个非人类的选题者不会是"AI 的审美"，是奖励函数。公司会让模型自己出题自己解，标准是"解了之后下一代模型更强"——比如把 mathlib 里几万条引理压缩成更少更通用的引理，比如专挑现有证明策略失败的地方。这些问题对模型有价值，对人没有可见的意义。这一步其实已经开始了。

第二步，新的概念，没有名字。人类数学每次大的跃进都伴随新的对象：群、流形、层、概形。它们能被消化，是因为有人给它起名字、写教科书、在三个以上不相关的领域里找到例子。AI 在压缩几百万条引理时，也会发明中间抽象——它的上下文也是有限的，它也需要压缩，那四百九十万条消息可以想成一万个智能体在互相传递压缩过的东西——只是那些抽象没有名字，压缩的格式是为它自己设计的，不是为人。人类数学家第一次遇到"看不懂题目"，而不是"看不懂证明"，就在这一步。

第三步，分岔。一条路是翻译层：有人负责把 AI 的概念回译成人类语言，人类数学以时滞跟着走——像今天大多数人跟着 Wiles 走：知道结论对，相信过程对，自己不走。这条路上人类智慧在，但是二手的。另一条路是脱钩：翻译的成本超过任何人愿意付的，AI 数学自己长成一棵树，人类数学变成它的一个古老分支，像围棋那样活着：有人做，有美，但不是知识的前沿。

第四步，唯一能把人拉回来的东西：应用。数学史上被遗忘的分支重新被捡起来，几乎都是因为物理或工程突然需要它——黎曼几何等了六十年等来广义相对论。所以最可能的长期形态不是彻底脱钩，是人只理解 AI 数学里"有用"的那一小块，其余部分对人来说像暗物质：知道在，知道对，不知道是什么。

写到这里，得再借一次消化那一节用过的进化——那里借它讲压缩，这里借它讲选择。进化之所以能造出知识，是因为有选择：环境替它挑出哪些变异值得保留。变异本身不是知识；没有选择，变异只会随机漂移，堆不出东西。AI 在无边无际的前沿摸索，相当于变异；灯塔相当于选择。如果选择的标准是人立的，AI 的摸索就是人类数学的变异，快得惊人，但结果能被压缩回人类的教科书。如果选择的标准是一个奖励函数，那也是选择，只是挑的人不是数学共同体，标准也不是让人更懂，而是让下一代模型更强——数学家的声明标题里那个词，"错位"，说的正是这个：不是 AI 有了自己的目标，是人给它的目标和人自己的目标不一样。所以，让 AI 在未知领域突破，可以；让 AI 帮人消化这些突破，也可以，而且应该。但指望 AI 自己引领方向、自己立灯塔，好一点的结果是做了很多无用功，堆出一座没人读的图书馆；坏一点，就是上面第三步所说的分岔，以及后续各种可能的结果。

还有一句得说清楚：这四步里每一步的转折点都是人的决定，不是能力的界限。第一步是公司决定用什么奖励，第二步是有没有人肯做命名，第三步是有没有人付翻译的钱。"AI 自己立灯塔"这个说法本身就有点误导——至少前三步，是人把立灯塔的权力让出去的。

九、数学的数学

数学家的数学终结了吗？数学的数学开始了吗？人类的智慧就此封印？

关于第一个问题。8 月 31 日的 240 是一个人做出来的；Buckmaster 的证明是一个人加一个模型做出来的；《声明》说结果取决于人的决定。真正终结的是一件具体的事：人类单独保持一项纪录的时代。Ford 那句"最后一次"说的是纪录，不是数学。把纪录的终结说成数学的终结，正好掉进《声明》批评的那个陷阱——把基准当成了数学本身。

第三个问题，围棋已经替我们做过实验。李世石退役了，申真谞的棋力涨了。被超过和被封印是两回事。封印只在一种情况下发生：人不再去理解。Lean 验证过的东西原则上人都能拆开读，问题只是有没有人肯花那个时间。所以如果封印真的发生，封的不是智慧，是耐心；下封的不是 AI，是人自己。

真正新的东西是这个：前沿数学早就超出绝大多数人了，能读懂 Scholze 的人本来就只有几百个。AI 把这个数字从几百往零推。以前"人类理解"由少数人代持，现在连代持的人都可能没有了。这不是封印，是人从生产者退到了立灯塔的人和消化的人的位置。

那第二个问题呢？

数学家发展的，是人类的数学：以人自己为认知的原点，以人的意义为指引，几千年发展出一座大厦。上一篇“数学是什么”里说，数学既不像一部早已写完只等我们翻阅的天书，也不像一张任由涂写的白纸；我们选择入口，却不能选择入口之后的景色。但"我们"这个词，从来默认是人。

现在多了一种观察者。数学的产物本身开始反过来做数学。它的可达范围和人不同，它的入口和人不同，它对"什么显得自然"的感觉可能也和人不同。它交出的证明，人读起来是 slop，Lean 说是对的。

上一篇“数学是什么”的结尾说，让实数逃出列举、让真理逃出证明、让计算逃出判定的，是同一把对角线——一个能转身指向自身的系统。这个构造用于否定时划出边界，用于肯定时制造以自身为原料的创造。数学造出了能做数学的东西，这是那把对角线又转了一次。如果 AI 是数学的成果，那么"AI 的数学"就是数学的数学。

它开始了吗？大概还没有。AI 至今解的还是人出的题，灯塔还是人立的，它做的是人类数学的第三层，快得吓人，但还是人类数学。什么时候 AI 自己立灯塔、人也看不出那座灯塔为什么值得立，那一天才算数学的数学开始。到那天之前，人的位置很清楚：站在前沿，立灯塔，消化。至于要不要走到那一天，像数学家的《声明》说的，看人怎么决定——目前还是人。

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参考资料

• Tristan Buckmaster 的公开信（2026 年 9 月 7 日）：https://cims.nyu.edu/~tristanb/statement.pdf
• OpenAI，《关于 Navier–Stokes 千禧年问题》（2026 年 9 月 8 日，9 月 10 日更新）：https://openai.com/index/navier-stokes-solution/
• Science News，《AI 可能解决了数学最大的难题之一，引发争议》（Emily Conover，2026 年 9 月 9 日）：https://www.sciencenews.org/article/ai-math-puzzle-navier-stokes-openai
• Science News，《一个人类创下数学新纪录，然后 AI 来了》（Dana Mackenzie，2026 年 9 月 11 日）：https://www.sciencenews.org/article/human-math-record-twin-primes-openai
• Julia Stadlmann，《Bounded gaps between primes》（arXiv，2026 年 8 月 31 日）：https://arxiv.org/abs/2608.31126
• 《AI 在数学中的严重错位》声明（2026 年 9 月 11 日）：https://mathandai.org/
• 陶哲轩在 Mathstodon 上关于素数间隙的说明：https://mathstodon.xyz/@tao/117219548485446992
• Wired，《"我真的很害怕"：一位数学家面对 AI 的最新突破》（Isabella Ward，2026 年 9 月 12 日）：https://www.wired.com/story/mathematician-steven-strogatz-grapples-with-ai-recent-breakthroughs/
• Steven Strogatz，《温布尔登、美网与数学的未来》（陶哲轩博客客座文章，2026 年 9 月 12 日）：https://terrytao.wordpress.com/2026/09/12/wimbledon-the-u-s-open-and-the-future-of-mathematics/
• One's Mind Blog，《数学是什么？》（2026 年 8 月 17 日）：https://zhipeng.li/p/94/
• David Deutsch，《无穷的开始》（The Beginning of Infinity，2011），第四章"创造"论生物适应性即知识